何為演算法
演算法的簡單定義：輸入 + 演算法 = 輸出
這一篇文章有非常詳細的介紹演算法是什麼：初學者學演算法-談什麼是演算法和時間複雜度
一般判斷演算法的好壞是使用『空間複雜度』和『時間複雜度』來評估，
時間複雜度
所謂時間複雜度，指的是執行一段演算法，跑完整個運算邏輯所要花的時間。
雖然這個複雜度名為『時間複雜度』，但實際上，我們要真正衡量某個演算法時，是以步驟次數來看。
如果一個演算法執行的步驟是固定的，無關輸入的值而改變，那我們會記成 O(1)，例如：
function(int n){
print(n);
}
而下面這個演算法：
function(int n){
for(i=0;i
有時若跑的次數較不固定，如：
function(int n){
for(i=0;i
空間複雜度
而一個程式的空間複雜度是指完全地執行程式所需的記憶體量。
例如下面這個函式，不管程式跑了幾遍，都不會影響使用的變數數量：
function(int n){
for(int i=0;i
但下面這個函式，會隨著丟進去的數字而影響變數的量，例如：
function(int n){
int c[n];
for(int i=0;i
遞迴的空間複雜度一般是與最深的呼叫深度成正比，若遞迴中有局部的變數或參數，所需的空間複雜度會更高。
演算法的經典例子
人工智慧也是演算法的一種，如著名的旅行推銷員問題（Travelling salesman problem, TSP），在假定已知每個城市間的距離，在不重複訪問同一個城市下，如何求出最快速的行程組合，這就已經是電腦科學中著名的難解問題。
（Source：By Saurabh.harsh)
一筆畫問題也是很經典的演算法議題。一筆畫問題是柯尼斯堡七橋問題經抽象化後的推廣，是圖遍歷問題的一種。在柯尼斯堡問題中，如果將橋所連接的地區視為點，將每座橋視為一條邊，那麼問題將變成：對於一個有著四個頂點和七條邊的連通圖G(S,E)，能否找到一個恰好包含了所有的邊，並且沒有重複的路徑。歐拉將這個問題推廣為：對於一個給定的圖，怎樣判斷是否存在著一個恰好包含了所有的邊，並且沒有重複的路徑？這就是一筆畫問題。
(Source：By 維基百科)
這個問題的解答是：如果一個圖能一筆畫成，那麼對每一個頂點，要麼路徑中「進入」這個點的邊數等於「離開」這個點的邊數：這時點的度為偶數。要麼兩者相差一：這時這個點必然是起點或終點之一。注意到有起點就必然有終點，因此奇頂點的數目要麼是0，要麼是2。
在程式之美－微軟技術面試心得裡，也給了讀者了許多很經典的演算法題目，例如：構造數獨遊戲、一疊蔥油餅的排序、一排石頭的遊戲、俄羅斯方塊遊戲、踩地雷遊戲的機率、連連看遊戲，都是我感到十分有興趣的演算法議題。
連連看遊戲的演算法設計方向
後來因為我小時候很喜歡玩kawai連連看，所以就選擇這款遊戲做為這次鐵人賽的題目，書中對於連連看遊戲所給的思考方向如下：
假如讓你來設計一個連連看遊戲的演算法，你會怎麼做呢？要求如下：
- 如何用簡單的電腦模型來描述這個問題？
- 如何判斷兩個圖形能否相消？
- 如何求出兩個相同圖形間的最短路徑？（轉彎數最少、路徑經過的格子數目最少）
- 如何確定目前是處於僵局狀態，並設計演算法來解除僵局？
在經典的最短路徑當中，需要求出經過格子數目最小的路徑。這邊為了確保轉彎次數最少，需要把最短路徑問題的目標函數修改為從一個點到另一個點。雖然目標函數修改了，但演算法的框架仍然可以保持不變。廣度優先搜尋是解決經典最短路徑問題的一個思考方向。
根據上面的說明，我們若想要做一個連連看的遊戲，需要思考解決下列問題：
- 產生遊戲初始局面：如何用電腦資料格式來儲存一個圖形資料
- 判斷是否可相消：每次使用者選擇兩個圖形，如果圖形滿足一定條件（兩個圖形相同，且這兩個圖形之間存在少於三個轉彎以下的路徑）則可以消除圖形。
- 判斷僵局：搜尋全部現有場景上的圖案，並判斷是否能夠相消。當玩家不可能再去消除任意兩個圖像的時候，遊戲進入僵局狀態，就隨機打亂局面，打破僵局。
因此，我們至少會需要使用到圖形（Graph）演算法以及搜尋（包含深度與廣度搜尋）演算法。
下面我們便先針對這兩個部份的演算法來做介紹。
Graph 資料結構
一張圖由數個點（ vertex ）以及數條邊（ edge ）所構成。點與點之間，得以邊相連接，表示這兩點有關聯、關係。
那要如何利用程式語言來表示一張圖？有下列幾種方法（資料來源於此）：
- 相鄰矩陣（Adjacency Matrix）：圖形中最常用的是相鄰矩陣。將各節點當做矩陣的行和列的 index，若頂點間有連接則 array[i][j] = 1，反之 array[i][j] = 0。這個方法的缺點在於若遇到稀疏矩陣將浪費許多空間給不存在邊，且頂點可能數量會改變，使用二維矩陣就相對不彈性。
- 相鄰串列（Adjacency Lists）：把一張圖上的點依序標示編號。每一個點，後方串連所有相鄰的點。例如第 4 列之中所列的數字，即是與第 4 點相鄰的點。
- 關聯矩陣：最簡單的方式，就是用個陣列，記錄所有點與點之間的邊。這種方式相當直觀，也非常節省空間。
搜尋演算法
圖的遍歷，也就是指通盤地讀取圖的資訊：決定好從哪裡開始讀，依照什麼順序讀，要讀到哪裡為止。詳細地設計好流程，始能通盤地讀取圖的資訊；如果設計得漂亮，在解決圖的問題時，還可以一邊讀取圖的資訊，一邊順手解決問題呢！利用最簡單的資料結構 queue 和 stack ，就能製造不同的遍歷順序，得到兩種遍歷演算法： Breadth-first Search（廣度優先搜尋） 和 Depth-first Search （深度優先搜尋）。
深度優先搜尋法
下面是這篇文章裡對深度優先搜尋法所給的解釋：
深度優先搜尋法，是一種用來遍尋一個樹(tree)或圖(graph)的演算法。由樹的根(或圖的某一點當成 根)來開始探尋，先探尋邊(edge)上未搜尋的一節點(vertex or node)，並儘可能深的搜索，直到該節點的所有邊上節點都已探尋；就回溯(backtracking)到前一個節點，重覆探尋未搜尋的節點，直到找到目 的節點或遍尋全部節點。
深度優先搜尋法屬於盲目搜索(uninformed search)是利用堆疊(Stack)來處理，通常以遞迴的方式呈現。
範例: 以深度優先搜尋法找出下圖的所有節點順序:
假設起始點為 A，且每一節點由左至右的順序來搜尋下個節點，則結果為: A, B, E, F, D, C, G
廣度優先搜尋法
下面是這篇文章裡對廣度優先搜尋法所給的解釋：
廣度優先搜尋法，是一種圖形(graph)搜索演算法。從圖的某一節點(vertex, node)開始走訪，接著走訪此一節點所有相鄰且未拜訪過的節點，由走訪過的節點繼續進行先廣後深的搜尋。以樹(tree)來說即把同一深度(level)的節點走訪完，再繼續向下一個深度搜尋，直到找到目的節點或遍尋全部節點。
廣度優先搜尋法屬於盲目搜索(uninformed search)是利用佇列(Queue)來處理，通常以迴圈的方式呈現。
範例: 廣度優先搜尋法找出下圖的所有節點順序:
假設起始點為 A，且每一節點由左至右的順序來搜尋下個節點，則結果為: A, B, C, D, E, F, G
連連看遊戲的演算法構思
圖形儲存方式
以連連看來說，因為在連連看的棋盤裡，任意兩個同一排或同一列的點，都可以做直線相連，我們若用一個二維陣列直接來儲存棋盤內容，可以用該陣列第一個索引值或第二個索引值是否相同，來判別是否在同一條線上。
若圖形為10X10的棋盤，則陣列設計如下：
用這樣的陣列的儲存方式，我們可以注意到，上圖的x,y軸的位置，和一般我們在做遊戲時的x,y軸的方向會剛好相反，這一點要特別注意，才不會在計算點與點間的位置時出錯。
而路徑的部份則使用上面圖演算法中的關連矩陣去紀錄，如[[0,0],[-1,0],[-1,8],[0,8]]，在連連看遊戲裡，每一個合法的路徑都應由四個或以內的點所組成成。並且每一個點之間，必定要有相同的x或相同的y。我們可以用這樣的條件去搜尋判斷可能存在的路徑。
路線搜尋方式
在一般我們做最短路徑搜尋的情況，都會以廣度優先搜尋為主。
在連連看裡面，連線的線條不可大於兩個轉彎處，兩個轉彎處的意思，代表連接的線最多只能由三條直線來組成。
由上圖可以發現，我們可以以直線做為搜尋單元，先搜尋A點上、下、左、右最遠能到達的點，對比B點上、下、左、右最遠可以到達的點，判斷是否有可能可以形成一條連線，若有可能，再去尋找是否中間存在可能的第二條線。
